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Majorana o Yukawa: priorità sulla ipotesi del mesone.

È noto, e risulta dalla corrispondenza fra Ettore Majorana ed i suoi familiari ed il CNR, che egli, giunto a Lipsia il 19 gennaio 1933, richiese poco dopo il suo arrivo l’invio di estratti della sua pubblicazione "Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbitrario", avendo intenzione di tradurla in lingua tedesca. È altresì noto che egli, dopo la pubblicazione (Marzo 1933) su "Zeitschrift für Physik" del suo lavoro "Über die Kerntheorie", scrisse (al CNR) di avere pronto un altro articolo – non specificando l’argomento – che di lì a poco sarebbe stato pubblicato nella stessa rivista. Purtroppo, esso non vide mai la luce e se ne persero le tracce.

Mi sono sempre chiesto su quale argomento vertesse ed ho creduto valida l’ipotesi di una rivisitazione relativistica della sua "Teoria del nucleo", anche se in essa Majorana, come aveva fatto in precedenza Heisenberg, aveva optato per una scelta non-relativistica, data la velocità molto bassa delle particelle rispetto a quella della luce.

Infatti, all’inizio del suo lavoro egli afferma: "Lo studio dei nuclei è così ricondotto alla ricerca di una adeguata funzione hamiltoniana la quale sia valida per un tale sistema di punti materiali, ma con approssimazione non relativistica poiché le velocità delle particelle sono presumibilmente alquanto basse, se paragonate a quella della luce ($v \cong c/10$)". Majorana però, è ancora all’inizio del suo studio e, quando dice "particelle", si riferisce ai nucleoni e non a quella specifica mediatrice fra di esse che, come si vedrà più avanti e come egli stesso certamente ha intuito, possiede velocità più elevata e confrontabile con $c$.

Recentemente, nel corso della traduzione del lavoro di Yukawa (On the interaction of elementary particles) sull’ipotesi del mesone del 1935, molte cose mi sono apparse necessarie di un approfondimento ed ho avuto la sensazione che Majorana intendesse seguire, come forse avrà fatto, una strada che lo avrebbe portato alla ipotesi del mesone.

Devo ammettere che il suggerimento mi è stata fornito dalla lettura dell’articolo di Yukawa ed adesso provo a spiegare il perché. Yukawa parte da Heisenberg e dalla sua funzione "Platzwechselintegral", nonché da Fermi con la di questi introduzione del neutrino nella disintegrazione $\beta$, ma la teoria di Fermi serve a Yukawa soltanto per dire che la transizione neutrone-protone, con l’emissione di un elettrone ed un neutrino, gli sembra… piccola (small) (per il cambio di posto), ciò non gli impedisce però di chiamare "teoria di Heisenberg – Fermi" quella che invece, già allora, diversamente venne denominata "Teoria di Heisenberg – Majorana" !
Riporto, in originale, quanto Yukawa scrive nel testo in lingua inglese: "Recently Fermi treated the problem of $\beta$-disintegration on the Hypothesis of "neutrino". According to this theory, the neutron and the proton can interact by emitting and absorbing a pair of neutrino and electron. Unfortunately the interaction energy calculated on such assumption is much too small to account for the binding energies of neutrons and protons in the nucleus. To remove this defect, it seems natural to modify the theory of Heisenberg and Fermi...(omissis)".
Allora Yukawa scarta Fermi e mi sembra vano ripetere quanto più avanti dice.
Credo che avrebbe potuto risparmiarsi la fatica: l’implicazione di Fermi sembra proprio un diversivo, un depistaggio! Sì, esattamente così, per far credere di non essere a conoscenza del lavoro di Majorana. Ho letto recentemente e con attenzione l’articolo di Fermi "Tentativo di una teoria dei raggi $\beta$"{tooltip}(*){end-link}Nuovo Cimento vol. 11 1934 pp. 1.19. Ringrazio qui il Prof. Salvatore Esposito per avermi cortesemente inviato copia dell’articolo.{end-tooltip} e non ho trovato nulla, in ordine all’interazione forte, che non fosse già stato oggetto degli studi di Heisenberg e Majorana, tanto che altri potesse inventare una "teoria di Heisenberg – Fermi"; Fermi, come ampiamente riconosciuto, ha soltanto dato corpo alla ipotesi espressa da Pauli nel 1930. Nell’articolo citato Yukawa, dopo l’elaborazione di una hamiltoniana che dice essere equivalente a quella di Heisenberg, afferma: “Heisenberg took the positive sign for $J\left(r\right)$ ... omissis. È risaputo invece che Ettore Majorana, con l’approvazione di Heisenberg, cambiò il segno, originariamente negativo, della $J\left(r\right)$ e del resto è sufficiente esaminare l’hamiltoniana elaborata da Heisenberg nel lavoro "Sulla struttura dei nuclei atomici" (parte I e rielaborata nella parte III) e confrontarla con quella di Majorana in "Sulla teoria del nucleo". Anche se il formalismo di Majorana è diverso da quello di Heisenberg non vi è alcun dubbio che fu Majorana ad adoperare il segno positivo; ancora una prova che Yukawa lesse l’articolo di Majorana.

Yukawa, torno a lui, suppone, per il cambio di posto la mediazione di una nuova particella pesante, partendo dal campo $U$ generato dai nucleoni che, quantizzato, dia la massa cercata. Egli, così, in analogia con il potenziale scalare del campo elettromagnetico, parte dalla classica, datata, equazione di D’Alembert:

\[\left( {\Delta - \frac{1}{{^{{c^2}}}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}} \right)U = 0\]

e, sulla base della ben nota soluzione statica a simmetria centrale $\frac{1}{r}$, conclude per l’esclusione di un campo di forza coulombiano e che, invece, detto campo potrebbe essere espresso da:

${g^2}\frac{{{e^{ - \lambda r}}}}{r}$, oppure $- {g^2}\frac{{{e^{ - \lambda r}}}}{r}$

Ancora un’osservazione: Yukawa nell’incipit cita Heisenberg ma non Majorana e, certamente, come si è anzi detto aveva letto il suo lavoro che, oltre a collocarsi cronologicamente subito dopo quello di Heisenberg, sembrava chiudere l’argomento con il ben noto cambio di segno della $J\left( r \right)$, su cui anche Heisenberg era stato d’accordo. Inoltre, la soluzione proposta sembra essere un rimescolamento delle due espressioni di Majorana per la $J\left( r \right)$, quella ad una costante e quella a due costanti, che qui riporto:

\[\tag{1}J\left( r \right) = \lambda \frac{{{e^2}}}{r}\]

e

\[\tag{2}J\left( r \right) = A{e^{ - \beta r}}\]

Invito il lettore a fare attenzione alle costanti: la $\lambda$ di Majorana è diversa da quella di Yukawa – che più avanti indicherò con $\lambda_{\gamma}$ e così come la $g$ da quest’ultimo introdotta esse hanno tutte dimensioni diverse. È comunque inequivocabile che Yukawa aveva letto il lavoro di Majorana!

Il tutto somiglia ad una scena surreale: Yukawa ha invitato Heisenberg e Fermi ad una tavola rotonda per discutere sul tema, ma vi è un Convitato di pietra e questi non può essere altri che Ettore Majorana! Mi sembra sentirgli dire:

"Per l’ovvia incongruenza della prima mia espressione ad una costante, nel caso di $r = 0$, è meglio la seconda espressione, anche se presenta due costanti invece di una; tuttavia, combinarle in qualche modo e lasciare l’indeterminazione, è la soluzione peggiore anche se detta incongruenza confligge con l’impenetrabilità dei corpi e può quindi, essere esclusa a priori. Inoltre avrei ancora qualcosa da dire in ordine a qualche altra argomentazione, però non vi attribuisco alcuna importanza e quindi preferisco tacere."

Adesso, però, vediamo di fare un confronto fra quanto dedotto da Yukawa e quanto si evince dal lavoro di Majorana. Si dovrà seguire un criterio che tenga conto del problema dell’impenetrabilità dei corpi e dell’incongruenza del caso $r = 0$ e, per quanto attiene Majorana, utilizzerò la (1) (quella ad una costante).

Ovviamente, si tratta di un calcolo numerico-dimensionale molto semplice, di tipo ingegneristico.

Yukawa, dopo l’elaborazione della sua hamiltoniana, dà la seguente espressione per la massa corrispondente al campo (II quantizzazione):

\[{M_U} = \frac{{{\lambda _{\gamma}} \cdot \hbar }}{c}\]

Dove è

\[{\lambda _{\gamma}} = 5 \cdot {10^{12}} \cdot c{m^{ - 1}}\]

E quindi:

\[{M_U} = 1,759 \cdot {10^{ - 28}} \cdot kg\]

Adesso si faccia un calcolo analogo partendo dalla espressione (1) per la $J\left( r \right)$ di Majorana, quella ad una costante che, lo si rammenta, esprime una energia:

\[J\left( r \right) = \lambda \frac{{{e^2}}}{r}\]

Nella quale si pongano:

\[r = 3,67 \cdot {10^{ - 15}} \cdot m\]

(questo valore è stato scelto per il deutone, calcolandone il raggio con la formula empirica di Bethe e, naturalmente, nel rispetto della impenetrabilità dei corpi)

e

\[\lambda = 2,26 \cdot {10^{12}} \cdot {s^{ - 4}} \cdot kg \cdot {m^3} \cdot amp^{ - 2}\]

dividendo la (1) per $c^2$ si ricava la massa corrispondente all’energia

\[M = 1,759 \cdot {10^{ - 28}} \cdot kg\]

(In entrambi i casi, ovviamente, il rapporto massa del mesone/massa dell’elettrone $ \cong 193$)

Anche in questo secondo caso, senza l’intervento di Yukawa, partendo da un’energia anziché da un potenziale, si ottiene lo stesso risultato ma il punto è un altro ed è il ruolo delle costanti. Yukawa infatti, non giustifica la scelta del valore di $\lambda_{\gamma}$ (per la parte numerica) ed allo stesso modo ho manipolato, nei miei calcoli, la parte numerica della $\lambda$ di Majorana.

Qui è importante un’osservazione: l’espressione di Yukawa contiene tre costanti – delle quali una soltanto è manipolabile – e nessuna variabile, quella di Majorana invece due costanti – una sola manipolabile – ed una variabile.

Chiarisco: la $\lambda$ di Majorana è una costante, la $\lambda_{\gamma}$ di Yukawa pure, però è diversa dalla prima e attribuendo a queste costanti, solo per la parte numerica e non quella dimensionale, valori opportuni si possono ottenere diversi tipi di mesoni, anche per nuclei più massivi del deutone, nel qual caso però si dovrà tener conto di altri fattori che rendono più arduo il calcolo. Ciò può essere fatto, limitatamente, anche con la $r$, la quale è però una variabile e pertanto soggetta, come già visto, a condizioni restrittive per quanto riguarda il problema della impenetrabilità dei corpi e conseguentemente quello dell’incongruenza del caso $r = 0$.

I calcoli, cui accennavo dianzi, sono stati eseguiti con il software Mathcad®, che utilizzo da ca. 25 anni (sin dalle prime versioni DOS) sull’esattezza del quale non nutro alcun dubbio; non posso tuttavia affermare lo stesso, riguardo ai dati in ingresso ed all’impostazione che ho dato loro partendo da processi mentali forse errati. Ho utilizzato soltanto alcune relazioni fondamentali:

  • L’algoritmo con cui Heisenberg introduce la sua funzione di cambio posto $\frac{1}{h}J\left( r \right)$, postulando che si tratta di una frequenza.
  • La costante di Planck.
  • Le equazioni dell’energia $E = h \nu$ ed $E = mc^2$.

così, partendo dalla (1) ho ricavato, la frequenza di cambio posto, nonché la massa, la vita, la lunghezza d’onda e la velocità ($v \cong c/3,42$) del mesone; ometto qui i calcoli perché banali e molto semplici. Certamente si può fare lo stesso partendo dalla relazione di Yukawa; non ho fatto i calcoli relativi perché mi interessava soltanto vedere se si potesse farlo con la (1) di Majorana ed i risultati mi hanno dato ragione. Per quanto attiene la carica del mesone, vi è solo da osservare che anche nel caso di Majorana, valgono le considerazioni fatte da Yukawa.

Invito il lettore attento, e più esperto di me, ad eseguire una disamina oculata ed a farmi conoscere i punti deboli e/o errati del mio ragionamento; sono convinto comunque che Majorana, nel corso della probabile rivisitazione (relativistica?) del suo lavoro "Über die Kerntheorie", (ipotesi suffragata dalla velocità da me calcolata per il mesone, ben più elevata di quella dei nucleoni), se ciò era veramente l’oggetto del lavoro di cui si sono perse le tracce, abbia fatto senz’altro una riflessione sulla possibile esistenza di una massa mediatrice fra i nucleoni e poi, come aveva già fatto in precedenza e come farà in seguito con altre sue intuizioni, non vi abbia attribuito alcuna importanza ed abbia buttato i suoi appunti nel cestino. Per altro verso è comprensibile che Yukawa, cui peraltro bisogna riconoscere l’indicazione di ricercare la presenza del mesone nella radiazione cosmica, abbia volontariamente cercato di depistare; la storia della fisica ci ricorda molte controversie e diatribe in ordine a priorità di intuizioni, ipotesi e scoperte. Cito, a memoria, Newton vs. Leibniz, Einstein vs. De Sitter, Einstein vs. Hilbert, etc., anche se in alcuni casi non vi è stata una vera e propria priorità bensì una semplice contemporaneità. Certamente a Majorana non sarebbe importato più di tanto se qualcuno lo avesse emulato (uso questo termine bonariamente) e, forse, se ha avuto modo di leggere il lavoro di Yukawa, non se ne sia curato per nulla; l’uomo era fatto così e la sua grandezza lo portava fuori da ogni meschinità della vita comune.

Nota finale: Al lettore attento non sarà sfuggita la circostanza che, nella mia visitazione storico-scientifica dell’arco temporale 1932 - 1935, la mia attenzione si è quasi esclusivamente incentrata su Ettore Majorana e d’altronde, questa mia piacevole fatica è incominciata, come premesso, con la traduzione dell’articolo "Über die Kerntheorie" e successivamente, come antefatto cronologico, alla traduzione dei tre articoli fondamentali di Heisenberg. La "Sintesi ragionata" era la chiosa finale e, se non mi fossi casualmente imbattuto nel lavoro di Yukawa del 1935, tutto sarebbe finito a quel punto.

Messina, 05.01.2012

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