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Sulla interazione delle particelle elementari - Di H. Yukawa

Sulla interazione delle particelle elementari

H. Yukawa

(Ricevuto 1935)

Allo stato attuale della teoria quantistica, poco è conosciuto intorno alla natura dell’interazione fra particelle elementari. Heisenberg ha mostrato che l’interazione di "{tooltip}Platzwechsel{end-link}Sic nel testo in lingua inglese.{end-tooltip}" (cambio di posto) fra neutroni e protoni è importante nella struttura nucleare.

Recentemente Fermi ha trattato il problema della disintegrazione $\beta$ con l’ipotesi del "neutrino", Secondo questa teoria, il neutrone e il protone possono interagire emettendo e assorbendo una coppia neutrino – elettrone, Purtroppo l’energia di interazione calcolata sulla base di questa ipotesi è molto, troppo  piccola  per spiegare le energie di legame fra neutroni e protoni nel nucleo.

Per eliminare questa carenza, sembra naturale modificare la teoria di Heisenberg e Fermi nel modo seguente: la transizione di una particella pesante dallo stato di neutrone a quello di protone non è sempre accompagnata dalla emissione di particelle leggere come un neutrino e un elettrone, ma l’energia liberata dalla transizione – alle volte – è catturata da un’altra particella pesante che ciclicamente sarà trasformata dallo stato di protone in quello di neutrone. Se la probabilità di questo ultimo evento è molto più grande del precedente, l’interazione fra neutroni e protoni sarà molto più grande che nel caso di Fermi laddove la probabilità di emissione di particelle leggere non è essenzialmente influente.

Ora tale interazione fra le particelle elementari può essere descritta mediante un campo di forze, proprio come l’interazione fra particelle cariche è descritta dal campo elettromagnetico. Le considerazioni di cui sopra, mostrano che l’interazione fra particelle pesanti, con questo tipo di campo,  è molto più grande di quella di particelle leggere con esso.

Nella teoria dei quanti, questo campo dovrebbe essere accompagnato da un nuovo tipo di quanto, così come il campo elettromagnetico dal fotone.

In questo lavoro la natura possibile di questo campo ed il quanto connesso, saranno trattati brevemente e sarà anche considerato il loro meccanismo nella struttura nucleare.

Oltre a tale scambio di forze e le normali forze elettriche e magnetiche possono esservi altre forze fra le particelle elementari, ma al momento, trascuriamo queste ultime.

Un resoconto più completo sarà fatto nel prossimo lavoro.

Campo che descrive l’interazione

In analogia con il potenziale scalare del campo elettromagnetico, viene introdotta una funzione $U\left(x,y,z\right)$ per descrivere il campo fra il neutrone ed il protone; questa funzione soddisferà una equazione simile a quella delle onde per il potenziale elettromagnetico.

L’equazione:

\[\tag{1}\left( {\Delta - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}} \right) = 0\]

Ha soltanto soluzione statica a simmetria centrale $1/r$, escludendo le costanti additiva e moltiplicativa. Pertanto il potenziale della forza fra neutrone e protone non dovrebbe essere di tipo coulombiano bensì decrescere più rapidamente con la distanza. Per es. può essere espresso da:

\[\tag{2}{g^2}\frac{{{e^{ - \lambda r}}}}{r}\]

oppure

\[ - {g^2}\frac{{{e^{ - \lambda r}}}}{r}\]

Dove $g$ è una costante avente le dimensioni di una carica elettrica ad es. $cm^{3/2}sec^{-1}gr^{1/2}$  $\lambda$ con dimensione $cm^{-1}$.

Poiché questa funzione è una soluzione statica a simmetria centrale dell’equazione d’onda:

\[\tag{3}\left( {\Delta - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - {\lambda ^2}} \right)U = 0\]

Si assume questa equazione come corretta per $U$, nel vuoto.

In presenza di particelle pesanti il campo $U$ interagisce con esse causando la transizione neutrone – protone.

Adesso si introducono le matrici:

\[\tau_{1}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\qquad\tau_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & -i\\i & 0\end{array}\right)\qquad\tau_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right)\]

Ed indicando lo stato del neutrone e del protone rispettivamente con $\tau_3 = 1$ e $\tau_3 = -1$, l’equazione d’onda è data da:

\[\tag{4}\left( {\Delta  - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - {\lambda ^2}} \right)U = - 4\pi g\tilde \psi \frac{{{\tau _1} - i{\tau _2}}}{2}\psi \]

Dove $\psi$ indica la funzione d’onda delle particelle pesanti, essendo dipendente dal tempo, dalla posizione e dallo spin, così come $\tau_{3}$ che prende i valori 1 o -1.

Adesso, si introduca la funzione complessa coniugata $\tilde U\,(x,y,z,t)$ che soddisfa l’equazione:

\[\tag{5}\left({ \Delta \frac{1}{{^{{c^2}}}}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - {\lambda ^2}} \right)\tilde U = - 4\pi g\tilde \psi \frac{{{\tau _1} + i{\tau _2}}}{2}\psi \]

E che corrisponde alla transizione inversa protone – neutrone.

Tale equazione varrà per la funzione vettoriale che è analoga al potenziale vettore del campo elettromagnetico. Comunque, per il momento, si scarta poiché non esiste una corretta teoria relativistica per le particelle pesanti. Perciò per le particelle pesanti verrà usata una semplice equazione d’onda non relativistica,  trascurando lo spin, nel modo seguente:

\[\tag{6}\begin{array}{l}\left\{ {\frac{{{h^2}}}{4} \left( {\frac{{1 + {\tau _3}}}{{{M_N}}} + \frac{{1 - {\tau _3}}}{{{M_P}}}} \right) \Delta + ih \frac{\partial }{{\partial t}} - \frac{{1 + {\tau _3}}}{2} {M_N}{c^2} - \frac{{1 - {\tau _3}}}{2} {M_P}{c^2}} \right. - \\ \left. { - g \left( {\tilde U \frac{{{\tau _1} - i{\tau _2}}}{2} + U \frac{{{\tau _1} + i{\tau _2}}}{2}} \right)} \right\} \psi = 0 \end{array}\]

Dove $h$ è la {tooltip}costante di Planck{end-link}Attenzione, anche in seguito l’A indicherà soltanto con h , h/2π. NdT.{end-tooltip} divisa per $2 \pi$ e $M_N$, $M_P$ sono rispettivamente la massa del neutrone e la massa del protone. Il motivo per cui si è preso il segno negativo di $g$ sarà spiegato più avanti.

L’equazione (6) corrisponde all’hamiltoniana:

\[\tag{7}\begin{array}{l} H = \left( {\frac{{1 + {\tau _3}}}{{4{M_N}}} + \frac{{1 - {\tau _3}}}{{4{M_P}}}} \right){{\vec p}^2} + \frac{{1 + {\tau _3}}}{2}{M_N}{c^2} + \frac{{1 - {\tau _3}}}{2}{M_P}{c^2} + \\ + g\,\left( {\tilde U \frac{{{\tau _1} - i{\tau _2}}}{2} + U \frac{{{\tau _1} + i{\tau _2}}}{2}} \right) \end{array}\]

Dove $\vec{p}$ è il momento della particella. Se si pone $M_{N}c^{2}-M_{P}c^{2}=D$ e $M_{N}+M_{P}=2M$, l’equazione (7) diventa approssimativamente:

\[\tag{8}H = \frac{{{{\vec p}^2}}}{{2M}} + \frac{g}{2} \left\{ {\tilde U \left( {{\tau _1} - i{\tau _2}} \right) + U \left( {{\tau _1} + i{\tau _2}} \right)} \right\} + \frac{D}{2} {\tau _3}\]

Dove il termine costante $Mc^2$ è stato omesso.

Adesso si considerino due particelle pesanti  rispettivamente nei punti di coordinate $\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)$ e $\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ e si assuma che la loro velocità relativa sia piccola. Il campo in $\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)$ dovuto a $\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ è dato dalle (4) e (5),

\[\tag{9}\left. \begin{array}{l}U \left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right) = g\frac{{{e^{ - \lambda {\tau _{12}}}}}}{{{\tau _{12}}}} \frac{{\left( {\tau _1^{(2)}  - i\tau _2^{(2)}\,} \right)}}{2}\\{\rm{e}}\\\tilde U\,\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right) = g\frac{{{e^{ - \lambda {\tau _{12}}}}}}{{{\tau _{12}}}}\frac{{\left( {\tau _1^{(2)} - i\tau _2^{(2)}} \right)}}{2}\end{array} \right|\]

Dove $\left({\tau _1^{(1)},\tau _{2}^{(1)},\tau _3^{(1)}} \right)$ e $\left({\tau _1^{(2)},\tau _{2}^{(2)},\tau _3^{(2)}} \right)$ sono le matrici relative rispettivamente alla prima ed alla seconda particella e $\tau_12$ è la loro mutua distanza.

Quindi, in assenza di campi esterni, l’hamiltoniana è data da:

\[\tag{10}\begin{array}{l}H = \frac{{\vec p_1^2}}{{2M}} + \frac{{\vec p_2^2}}{{2M}} + \frac{{{g^2}}}{4}\left\{ {\left( {\tau _1^{\left( 1 \right)} - i\tau _2^{\left( 1 \right)}} \right)\left( {\tau _1^{\left( 2 \right)} - i\tau _2^{\left( 2 \right)}} \right) + } \right.\\ + \left. {\left( {\tau _1^{\left( 1 \right)} - i\tau _2^{\left( 1 \right)}} \right)\left( {\tau _1^{\left( 2 \right)} - i\tau _2^{\left( 2 \right)}} \right)} \right\}\frac{{{e^{ - \lambda {\tau _{12}}}}}}{{{\tau _{12}}}} + \left( {\tau _3^{\left( 2 \right)} - i\tau _3^{\left( 2 \right)}} \right)D = \\ = \frac{{\vec p_1^2}}{{2M}} + \frac{{\vec p_2^2}}{{2M}} + \frac{{{g^2}}}{2}\left( {\tau _1^{\left( 1 \right)}\tau _1^{\left( 2 \right)} + \tau _2^{\left( 1 \right)}\tau _2^{\left( 2 \right)}} \right)\frac{{{e^{ - \lambda {\tau _{12}}}}}}{{{\tau _{12}}}}\left( {\tau _3^{\left( 1 \right)} + \tau _3^{\left( 2 \right)}} \right)D \end{array}\]

${\vec p_1}$ e ${\vec p_2}$ sono i momenti delle particelle.

Questa hamiltoniana è equivalente a quella di Heisenberg se si prende come "Platzwechselintegral":

\[\tag{11}J(r) = - {g^2}\frac{{{e^{ - \lambda r}}}}{r}\]

Con l’esclusione che non si è tenuto conto dell’interazione fra i neutroni e della repulsione coulombiana fra i protoni. Heisenberg ha preso il segno positivo per la $J\left(r\right)$ cosicché lo spin del più basso stato dell'$H^2$ era 0, mentre ne caso di cui si tratta, poiché il segno negativo appartiene a $g^2$, il più basso stato di energia ha lo spin 1 come scaturisce dalla sperimentazione.

Le due costanti $g$ e $\lambda$ che compaiono nelle equazioni sopradette, devono essere determinate in raffronto con la sperimentazione. Per es. usando l’hamiltoniana (10) per particelle pesanti, si può calcolare il difetto di massa dell'$H^2$ e la probabilità di scattering di un neutrone da un protone sempreché la velocità relativa sia molto piccola rispetto a quella della luce.

Una valutazione grossolana evidenzia che i valori calcolati sono in accordo con i risultati sperimentali se si prende per $\lambda$ un valore fra $10^{-12}$ e $10^{-13}$ $cm^{-1}$ e per $g$ un valore multiplo della carica elementare $e$, poiché dalle precedenti considerazioni non viene una relazione diretta fra $g$ ed $e$.

Natura dei quanti associati al campo.

Il campo $U$ preso in esame in precedenza dovrebbe essere quantizzato secondo il metodo generale della teoria  poiché entrambi neutrone e protone obbediscono alla statistica di Fermi; i quanti associati al campo $U$ dovrebbero obbedire alla statistica di Bose e la quantizzazione si può ricavare similarmente a quella del campo elettromagnetico.
La legge di conservazione della carica elettrica, esige che il quanto debba avere la carica $+e$ oppure $-e$. La quantità di campo $U$ corrisponde all’operatore che aumenta il numero di quanti negativi e diminuisce quello dei positivi rispettivamente di 1.

$\tilde{U}$ che è il complesso coniugato di $U$, corrisponde all’operatore inverso.

Infine indicando

${p_x} = - ih\frac{\partial }{{{\partial _x}}}$, etc., $W = ih\frac{\partial }{{\partial t}}$

\[{m_U}c = \lambda h\]

l’equazione d’onda per lo spazio libero, si può scrivere nella forma:

\[\tag{12}\left\{ {p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 - \frac{{{W^2}}}{{{c^2}}} + {m_U}{c^2}} \right\}U = 0\]

Cosicché il quanto associato al campo ha la massa propria \[{m_U} = \frac{{\lambda h}}{c}\].

Assumendo$\lambda=5\times10^{12}cm^{-1}$, si ottiene per $M_U$ un valore $2\times10^{2}$volte la {tooltip}massa dell’elettrone{end-link}Il calcolo effettuato del rapporto dà esattamente 1,93079 × 102. Si rammenta ancora che, Yukawa intende per h, h/2π. NdT.{end-tooltip}; poiché un quanto avente una massa così grande ed una carica positiva o negativa non è stato mai trovato sperimentalmente, sembra che la teoria di cui sopra sia su una strada falsa. Comunque si può dimostrare che nelle normali trasformazioni un quanto di questo tipo non può essere emesso nello spazio esterno.

Si consideri per es. la transizione da uno stato di neutrone di energia $W_n$ ad uno di protone di energia $W_p$, ognuno dei quali comprende l’energia propria.
Questi stati possono essere espressi dalla funzione d’onda:

\[{\psi _N}\,\left( {x,y,z,t,1} \right) = u\left( {x,y,z} \right){e^{ - i{W_N}t/h}},{\psi _N}\left( {x,y,z,t, - 1} \right) = 0\]

e

\[{\psi _P}\left( {x,y,z,t, - 1} \right) = 0,{\psi _P}\left( {x,y,z,t, - 1} \right) = \nu \left( {x,y,z} \right){e^{ - i{W_{Pt}}/h}}\]

cosicché nel lato destro dell’equazione (4) appare il termine:

\[ - 4\pi g\tilde \nu u{e^{ - it\left( {{W_N} - {W_P}} \right)/h}}\]

Ponendo $U = U'\left( {x,y,z} \right){e^{i\omega t}}$, dalla (4) si ottiene:

\[\tag{13}\left\{ {\Delta - \left( {{\lambda ^2} - \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}}} \right)} \right\}U' = - 4\pi g\tilde \nu u\]

Dove $\omega = \frac{{{W_N} - {W_P}}}{h}$

integrando si ottiene la soluzione:

\[\tag{14}U'\left(\vec{r}\right)=g\iiint\frac{e^{-\mu\left|r-r'\right|}}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\tilde{v}\left(\vec{r}'\right)u\left(\vec{r}'\right)dv'\]

Dove $\mu = \sqrt {{\lambda ^2} - \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}}}$

Se $\lambda > \frac{{\left| \omega \right|}}{c}$ oppure ${m_U}{c^2} > \left| {{W_N} - {W_P}} \right|$, $\mu$ è reale e la funzione $J\left(r\right)$ di Heisenberg ha la forma $ - {g^2}\frac{{{e^{ - \mu r}}}}{r}$, nella quale $\mu$, comunque, dipende da $\left| {{W_N} - {W_P}} \right|$ e diventa sempre più piccolo secondo come quest’ultimo si approssima a ${m_U}{c^2}$. Ciò significa che l’intervallo di escursione dell’interazione fra un neutrone ed un protone aumenta con l’aumentare di $\left| {{W_N} - {W_P}} \right|$.

Adesso lo scattering (elastico o anelastico)  di un neutrone da un nucleo, può essere visto come il risultato del seguente duplice processo: nel nucleo, un neutrone decade a livello di protone ed un protone salta allo stato di neutrone di energia cinetica positiva, rimanendo inalterata l’energia totale conservata durante tale processo.
Il ragionamento suddetto allora evidenzia che la probabilità di scattering può in alcuni casi aumentare con la velocità del neutrone.

Secondo l’esperimento di Bonner, la sezione d’urto del neutrone aumenta realmente con la velocità nel caso del piombo mentre diminuisce in quello del carbonio e dell’idrogeno; essendo più lento il tasso di diminuzione nel primo caso che nell’ultimo. La causa di questo effetto non è chiara ma i ragionamenti precedenti non possono contraddirla. Per questo, se l’energia di legame del protone nel nucleo diventa comparabile con ${m_U}{c^2}$ il campo di interazione del neutrone con il protone aumenterà in maniera considerevole con la velocità del neutrone cosicché la sezione d’urto diminuirà più lentamente in tal caso che in quello dell’idrogeno, ossia, del protone libero. L’energia di legame del protone nel C12, che è stimata dalla differenza delle masse di C12 e B11, è:

\[12,0036-11,0110=0,9926\]

Ciò corrisponde ad una energia di legame di $0,0152$ in unità di massa e cioè trenta volte la massa dell’elettrone. Così nel caso del carbonio si può prevedere l’effetto osservato da Bonner. Le argomentazione sono soltanto tentativi e naturalmente non sono escluse altre spiegazioni.

Inoltre se $\lambda < \frac{{\left| \omega \right|}}{c}$ oppure ${m_U}{c^2} < \left| W_N-W_P \right|$, $\mu$ diventa un immaginario puro ed $U$ rappresenta un'onda sferica non attenuata, significando che un quanto con energia più grande di $m_U c^2$ può essere emesso nello spazio esterno da una transizione neutrone-protone, a condizione che $\left| W_N - W_p \right| > m_U c^2$.

La velocità dell’onda associata ad $U$ è maggiore – ma quella di gruppo è minore – della velocità della luce, come nel caso dell’onda associata all’elettrone.

La ragione per cui tali quanti massicci, semmai essi esistano, non è stata ancora scoperta e può essere ascritta alla circostanza che la massa $m_U$ è cosi grande che la condizione $\left| W_N - W_P \right| > m_U c^2$, non è realizzabile nelle normali trasformazioni nucleari.

4. Teoria della disintegrazione $\beta$({tooltip}*{end-link}Nel testo originale questo è l’unico capo numerato. NdT.{end-tooltip})

Fin qui si è preso in esame soltanto l’interazione dei quanti associati ad $U$ con particelle pesanti. Adesso, secondo la teoria esposta, il quanto emesso quando una particella pesante salta da uno stato di neutrone a quello di protone può essere assorbito da una particella leggera che, conseguentemente all’energia assorbita, sale da uno stato di neutrino ad energia negativa allo stato di elettrone ad energia positiva. In tal guisa un antineutrino ed un elettrone sono emessi simultaneamente dal nucleo. Questa interposizione di un quanto compatto non altera essenzialmente la probabilità di una disintegrazione $\beta$, che è stata calcolata sulla ipotesi di un accoppiamento di una particella pesante con una leggera proprio come nella teoria della conversione interna dei raggi $\gamma$ e l’intervento del protone non inficia il risultato finale. Questa teoria, pertanto, essenzialmente non differisce da quella di Fermi.

Fermi ha ipotizzato che un neutrino ed un elettrone sono emessi contemporaneamente da un nucleo radioattivo ma, formalmente, ciò equivale all’assunto che un fotone salta da uno stato di neutrino ad energia negativa allo stato di elettrone ad energia positiva.

Pertanto, se le autofunzioni dell’elettrone e del neutrino sono $\psi_k$ e $\phi_k$ rispettivamente, ponendo $k=1, 2 , 3, 4$, nel lato destro dell’equazione (5) per $\tilde{U}$ deve essere aggiunto un termine della forma:

\[\tag{15} - 4\pi g'\sum\limits_{k = 1}^4 {{{\tilde \psi }_k}} {\phi _k}\]

dove $g'$ è una nuova costante con le stesse dimensioni di $g$.

Adesso le autofunzioni dello stato di neutrino con energia e momento proprio opposti a quelle dello stato $\phi_k$ sono date da $\phi _k^' = - {\delta _{kl\tilde \phi l}}$ e per contro ${\phi _k}\, = \, - {\delta _{kl\tilde \phi l'}}$, dove

\[\delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&{ - 1}&0\end{array}} \right|\]

Cosicché la (15) diventa:

\[\tag{16} - 4\pi g'\sum\limits_{k,l = 1}^4 {{{\tilde \psi }_k}\delta } {\tilde \phi ^'}_k\]

Dalle equazioni (13) e (16), si ottiene per gli elementi della matrice dell’energia di interazione, della particella pesante e del fotone l’espressione:

\[\tag{17}gg'\int { \cdots \int {\tilde \nu \left( {{{\vec r}_1}} \right)u\left( {{{\vec r}_1}} \right)} \sum\limits_{k = 1}^4 {{{\tilde \psi }_k}\left( {{{\vec r}_2}} \right)} } {\phi _k}\left( {{{\vec r}_2}} \right)\frac{{{e^{ - \lambda {r_{12}}}}}}{{{r_{12}}}}d{\nu _1}d{\nu _2}\]

Corrispondente al seguente processo doppio: una particella pesante con l’autofunzione $u\left( {\vec r} \right)$ decade dallo stato neutronico a quello protonico con l’autofunzione $\nu \left( {\vec r} \right)$ e simultaneamente un fotone salta dallo stato di neutrino ${\phi _k}\left( {\vec r} \right)$ ad energia negativa a quello di elettrone ${\psi _k}\left( {\vec r} \right)$ ad energia positiva.

Nella (17) si è preso $\lambda$ invece di $\mu$ poiché la differenza fra le energie dello stato neutronico e di quello protonico, differenza che è uguale alla somma del limite superiore dello spettro di energia della radiazione $\beta$ e delle energie proprie dell’elettrone e del neutrino,  è sempre piccola in confronto a ${m_U}{c^2}$.

Poiché $\lambda$ è molto più grande dei numeri d’onda dello stato elettronico e dello stato neutronico, la funzione $\frac{{{e^{ - \lambda {r_{12}}}}}}{{{r_{12}}}}$ può essere presa in considerazione, come una funzione $\delta$ moltiplicata per $\frac{{4\pi }}{{{\lambda ^2}}}$, per le integrazioni rispetto $x_2, y_2, z_2$.

Il termine $\frac{{4\pi }}{{{\lambda ^2}}}$4 proviene da:

\[\iiint\frac{e^{-\lambda r_{12}}}{r_{12}}dv_{2}=\frac{4\pi}{\lambda^{2}}\]

Pertanto la (17) diventa:

\[\tag{18}\frac{{4\pi gg'}}{{{\lambda ^2}}}\iiint {\tilde \nu \left( {\vec r} \right)u\left( {\vec r} \right)\sum\limits_k {{{\tilde \psi }_k}\left( {\vec r} \right){\phi _k}\left( {\vec r} \right)d\nu } }\]

Oppure dalla (16):

\[\tag{19}\frac{{4\pi gg'}}{{{\lambda ^2}}}\iiint {\tilde \nu \left( {\vec r} \right)u\left( {\vec r} \right)\sum\limits_{k,l} {{{\tilde \psi }_k}\left( {\vec r} \right)\,{\delta _{kl'}}\tilde \phi _l^'\left( {\vec r} \right)d\nu } }\]

Che è uguale all’espressione (21) di {tooltip}Fermi{end-link}Lavoro specifico di Fermi. (1933). NdT.{end-tooltip} e che corrisponde all’emissione di un neutrino ed un elettrone con stati ad energia positiva $\phi _k^'\left( {\vec r} \right)$ e ${\psi _k}\left( {\vec r} \right)$, eccetto che il termine $\frac{{4\pi gg'}}{{{\lambda ^2}}}$ è sostituito al posto della costante $g$ di Fermi.

Il risultato è cosi lo stesso della teoria di Fermi e, con questa approssimazione, se si prende:

\[\frac{{4\pi gg'}}{{{\lambda ^2}}}\, = 4 \times {10^{ - 50}}c{m^3}erg\]

Da cui si può determinare la costante $g'$. Per es., prendendo $\lambda = 5 \times {10^{12}}$ e $g = 2 \times {10^{ - 9}}$, si ottiene $g' \cong 4 \times {10^{ - 17}}$ che è ca. $10^{-8}$  volte più piccola di $g$.

Ciò significa che l’interazione fra il neutrino e l’elettrone è molto più piccola di quella fra il neutrone ed il protone evidenziando sarà estremamente molto più penetrante del neutrone ed in conseguenza molto difficile da osservare. La differenza fra $g$ e $g'$ può essere dovuta alla differenza delle masse.

Sono descritte le interazioni di particelle elementari considerando un ipotetico quanto che possiede la carica elementare e massa propria e che obbedisce alla statistica di Bose. L’interazione di questo quanto con la particella pesante dovrebbe essere estremamente più grande di quella con la particella leggera in modo da contare per l’interazione forte fra neutrone e protone così come per la piccola probabilità della disintegrazione $\beta$.

Tali quanti, qualora essi esistano e si approssimino abbastanza vicino alla materia per esserne assorbiti, cederanno a quest’ultima la loro carica ed energia. Se infine i quanti con carica negativa sono in eccesso, la materia sarà portata a potenziale negativo.

Naturalmente queste argomentazioni che hanno carattere meramente speculativo, si accordano col punto di vista che le particelle positive ad alta velocità nella radiazione cosmica, sono generate dal campo elettrostatico della Terra che è a potenziale negativo.

I quanti massicci possono avere anche qualche meccanismo negli sciami prodotti dai raggi cosmici.

Assumendo
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