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Sulla Struttura dei nuclei atomici. I. - Di W. Heisenberg

Sulla Struttura dei nuclei atomici. I

Di W. Heisenberg, a Lipsia.

Con 1  illustrazione. (Pervenuto il 7 Giugno 1932)

Vengono discusse le conseguenze dell’ipotesi che i nuclei atomici siano costituiti da protoni e neutroni senza contributo degli elettroni. § 1. La funzione hamiltoniana del nucleo. § 2. Il rapporto fra carica e massa e la particolare stabilità del nucleo di He. § da 3 a 5. Stabilità dei nuclei e serie di disintegrazione radioattiva. § 6. Discussione delle ipotesi fisiche fondamentali.

Tramite gli esperimenti di {tooltip}Curie e Joliot{end-link}I. Curie e F. Joliot, C. R. 194, 273, 876, 1932.{end-tooltip} e la interpretazione fattane  da {tooltip}Chadwick{end-link}J. Chadwick, Nature 129, 312, 1932.{end-tooltip}, si è evidenziato che nella costituzione del nucleo gioca un ruolo importante un nuovo componente fondamentale, il neutrone. Questo risultato rafforza l’ipotesi che i nuclei atomici siano costituiti da protoni e neutroni, senza contributo degli {tooltip}elettroni{end-link}Cfr. anche D. Iwanenko, ibidem 8, 798 Zeitschrift für Physik, Bd. 77.{end-tooltip}. Se questa ipotesi è giusta, ciò significa una straordinaria semplificazione per la teoria dei nuclei atomici. Le difficoltà fondamentali che si incontrano nella teoria della disintegrazione $\beta$ e nella statistica del nucleo di azoto, si riducono allora alla questione: in qual modo un neutrone può disintegrarsi in un protone ed un elettrone e a quale statistica corrisponda, mentre l’effettiva costituzione dei nuclei può essere descritta secondo le leggi della meccanica quantistica dalle interazioni  fra protoni e neutroni.

§ 1. La funzione hamiltoniana del nucleo.

Per le successive  riflessioni viene assunto che i neutroni seguano le regole della statistica di Fermi e che possiedano lo spin

\[\frac{1}{2}\frac{h}{{2\pi }}\]

Questa ipotesi sarà importante per spiegare la statistica del nucleo dell’azoto e corrisponde ai risultati empirici sui momenti nucleari. Si voglia intendere che il neutrone è costituito da un protone e da un elettrone, allora si dovrebbe attribuire all’elettrone la statistica di Bose e lo spin zero. Non sembra però opportuno elaborare oltre un tal quadro. Piuttosto il neutrone deve essere visto come un componente fondamentale costitutivo indipendente, ritenendo in ogni modo che sotto condizioni adatte si possa dividere in un protone ed un elettrone, per cui presumibilmente i principi di conservazione dell’energia e dell’impulso non sono più {tooltip}applicabili{end-link}Cfr. N. Bohr, Faraday Lecture, Journ. Chem. Soc. 1932 , Pag. 349.{end-tooltip}.

Delle interazioni reciproche fra i componenti elementari del nucleo osserviamo in primo luogo quella fra neutrone e protone. Si portino neutrone e protone ad una distanza paragonabile con le dimensioni del nucleo così - in analogia con lo ione $H_2^+$ - avviene uno scambio di posto della carica negativa, la cui frequenza è data dalla {tooltip}funzione{end-link}In lingua tedesca “Platzwechselintegral”. NdT{end-tooltip} $\frac{1}{h}J(r)$ della distanza $r$ fra le due particelle.   La grandezza $J(r)$ corrisponde allo scambio o, meglio, al cambio di posto della teoria molecolare. Questo scambio di posto si può rendere evidente per mezzo della rappresentazione degli elettroni che non hanno spin e che seguono le regole della statistica di Bose. È però più corretto vedere il cambio di posto $J(r)$ come una proprietà fondamentale della coppia protone – neutrone, senza volerlo ridurre a movimenti di elettroni.

Similmente viene descritta l’azione di scambio di due neutroni per mezzo di una energia di scambio $-K(r)$, dove a motivo dell’analogia con la molecola $H_2$, si può supporre che essa porti ad una forza attrattiva fra {tooltip}neutroni{end-link}Per quanto sopra e per alcune altre preziose discussioni desidero ringraziare cordialmente il Sig. W. Pauli.{end-tooltip}. Per ultimo indichiamo con $D$ il difetto di massa del neutrone, rispetto al protone, (in unità di misura dell’energia). Si suppone ulteriormente che  fra due protoni, oltre alle già date funzioni $J(r)$ e $K(r)$ e la repulsione coulombiana ${e^2}/r$, non intervenga alcuna rimarchevole interazione fra i componenti del nucleo. Inoltre si devono trascurare tutti gli effetti relativistici e le azioni di scambio fra spin e percorso. Sulle funzioni  $J(r)$ e $K(r)$ si possono fare solo alcune asserzioni generali. Si supporrà che esse, nell’ambito di grandezza dell’ordine di 10-12 cm. con $r$ crescente, tendano rapidamente a zero. Ulteriormente, in analogia con le molecole, si deve supporre che per valori normali di $r$, che $J(r)$ sia più grande di $K(r)$; questa ipotesi si rivelerà importante più avanti. Il difetto di massa $D$ del neutrone dovrebbe essere piccolo in confronto con i normali difetti di massa degli elementi.

Adesso, per scrivere la funzione hamiltoniana, si dimostrano come idonee allo scopo le seguenti variabili: ogni particella nel nucleo viene caratterizzata da cinque grandezze, le tre coordinate locali $\left( {x,y,z} \right) = \mathfrak{r}$, lo spin ${\sigma ^z}$ nella direzione $z$ e un quinto numero ${r^\zeta }$ che può assumere entrambi i valori +1 e -1. ${r^\zeta } = + 1$ deve significare che la particella è un neutrone, ${r^\zeta } = - 1$ significa che la particella è un protone. Poiché, a causa del cambio di posto nella funzione hamiltoniana si presentano elementi di transizione da ${r^\zeta } = + 1$  a ${r^\zeta } = - 1$, si dimostra idoneo allo scopo introdurre anche le matrici

\[{\rho ^\xi } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}} \right)\quad ,{\rho ^\eta } = \left({\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - i}\\i&0\end{array}} \right)\quad ,{\rho ^\zeta } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - i}\end{array}} \right)\]

Lo spazio di $\xi$, $\eta$, $\zeta$, naturalmente, non ha nulla a che fare con lo spazio reale.

In queste variabili la funzione hamiltoniana completa dei nuclei ($M$ massa dei protoni $\mathfrak{r}_{kl}=\left|\mathfrak{r}_{k}-\mathfrak{r}_{l}\right|$, ${p_k}$ impulso della particella $k$) è:

\[\tag{1}\left. \begin{array}{l}H = \frac{1}{{2M}}\sum\limits_k {\mathfrak{p}_k^2 - \frac{1}{2}\sum\limits_{k > l} {J\left( {{r_{kl}}} \right)\left( {\rho _k^\xi \rho _l^\xi + \rho _k^\eta \rho _l^\eta } \right)} } \\ - \frac{1}{4}\sum\limits_{k > l} {K\left( {{r_{kl}}} \right)} \cdot (1 + \rho _k^\zeta )(1 + \rho _l^\zeta )\\ + \frac{1}{4}\sum\limits_{k > l} {\frac{{{e^2}}}{{{r_{kl}}}}} \left( {1 - \rho _k^\zeta } \right)\left( {1 - \rho _l^\zeta } \right)\\ - \frac{1}{2}D\sum\limits_k {\left( {1 + \rho _k^\zeta } \right)}\end{array} \right]\]

Dei cinque termini, il primo rappresenta l’energia cinetica delle particelle, il secondo l’energia di scambio, il terzo le forze attrattive dei neutroni, il quarto la repulsione coulombiana dei protoni, il quinto il difetto di massa dei neutroni.

Sorge adesso il compito puramente matematico di trarre dalla equazione (1) le chiavi della costituzione dei nuclei.

§ 2. Il rapporto fra carica e massa e la particolare stabilità del nucleo di He.

Osserviamo, qui di seguito, un nucleo di $n$ particelle e cioè di $n_1$ neutroni e di $n_2$ protoni.

\[{n_1} = \frac{1}{2}\sum\limits_k {\left( {1 + \rho _k^\zeta } \right)} \]

Esso è commutabile con $H$ nell’equazione (1), quindi è una costante di integrazione, altrettanto $n_2$.

Si trascurino in primo luogo gli ultimi tre termini nella (1) e si mantengano i primi due, così resta inalterata l’energia, per motivo di simmetria, nell’inversione di indici di $\sum {\rho _k^\xi }$.

Al valore $\sum\limits_k {\rho _k^\xi }=0$ corrisponde così certamente un valore estremo dell’energia. Poiché per $\sum\limits_k {\rho _k^\xi }=n$ in questa approssimazione, non emerge alcuna energia di legame, così , in generale, apparterrà a $\sum\limits_k {\rho _k^\xi }=0$ il valore minimo di tutte le energie. Nella fattispecie ciò si può anche enunciare nel modo seguente: i primi due termini dell’hamiltoniana sono completamente simmetrici nei protoni e nei neutroni.

Il minimo dell’energia, ricavabile con la funzione del cambio di posto, si ottiene allora se il nucleo contiene lo stesso numero di neutroni e di protoni. Questo risultato trova riscontro con quello sperimentale secondo cui, in generale, la massa dei nuclei atomici è il doppio della carica (nelle unità di carica e massa del protone). Per mezzo dei tre ultimi membri della equazione (1), il rapporto fra neutroni e protoni corrispondente al valore minimo dell’energia, viene spostato a favore dei primi e cioè con numero complessivo $n$ in misura sempre crescente, a motivo delle forze coulombiane dei protoni. Un impiego dettagliato di questo risultato porta alla domanda: quali nuclei atomici possono esistere in natura e quali no, e presuppone una ulteriore discussione particolareggiata che sarà fatta dal  §3 fino al §5. L’unico nucleo, per il quale la soluzione dell’equazione (1) si lascia immediatamente indicare, è quello dell’isotopo dell’idrogeno di {tooltip}Urey{end-link}H. Urey, F. Brickwedde e G. Murphy, Phys. Rev. 39, 164, 1932; 40, 1, 464, 1932{end-tooltip} di peso 2 Esso consiste in un protone ed un neutrone e la funzione d’onda $\varphi \left( {\mathfrak{r_1}{\rho ^\zeta },\mathfrak{r_2}{\rho ^\zeta }} \right)$ la quale risolve la (1), può essere scritta, in analogia col problema dell’elio della meccanica quantistica, nella forma:

\[\tag{2}\varphi \left( {\mathfrak{r_1}\rho _1^\varsigma ,\mathfrak{r_2}\rho _2^\varsigma } \right) = \varphi \left( {\mathfrak{r_1}\mathfrak{r_2}} \right) \cdot \left[ {\alpha \left( {\rho _1^\zeta } \right)\beta \left({\rho _2^\zeta } \right) \pm \alpha \left( {\rho _2^\zeta } \right)\beta \left( {\rho _1^\zeta } \right)} \right]\]

Qui posta in forma abbreviata:

\[\tag{3}\left. \begin{array}{l}\alpha \left( \rho  \right) = {\delta _{\rho ,1}}\\\beta \left( \rho  \right) = {\delta _{\rho , - 1}}\end{array} \right]\]

L’attrazione di entrambe le particelle risulta se, nel lato destro fra parentesi della (2), viene scelto il segno +, $\varphi \left( {\mathfrak{r_1}\mathfrak{r_2}} \right)$ allora è sufficiente all’equazione d’onda:

\[\tag{4}\left\{ {\frac{1}{{2M}}\left( {\mathfrak{p_1^2} + \mathfrak{p_2^2}} \right) - J\left( {{r_{12}}} \right) - D - W} \right\}\phi \left( {\mathfrak{r_1}\mathfrak{r_2}} \right) = 0\]

Nello stato più basso dell’energia $\varphi \left( {\mathfrak{r_1}\mathfrak{r_2}} \right)$ è simmetrica in $\mathfrak{r_1}$ e $\mathfrak{r_2}$ , cosa possibile a causa dello spin, nonostante la statistica di Fermi delle particelle.

Una analisi matematica più precisa del nucleo di He secondo l’equazione (1), non deve essere, al momento, intrapresa. In questo contesto devono trovare posto, qui di seguito, soltanto riflessioni qualitative. In primo luogo si osservino nuclei che consistono soltanto di neutroni; si riconosce così che, secondo l’equazione (1) , un nucleo di due neutroni dovrebbe essere una struttura particolarmente stabile, ma in quanto l’autofunzione del sistema in due neutroni (cioè nelle loro coordinate $r$ e $\rho$ a causa del principio di esclusione di Pauli non può essere simmetrica in (nuclei) con più di due neutroni. [La circostanza che tali nuclei, costituiti soltanto da neutroni e per altri motivi non contenuti nell’equazione (1), sono labili, deve essere discussa più avanti e, per quanto segue, non ha un ruolo importante.] Per lo stesso motivo si potrà supporre che il nucleo He, il quale consiste di due protoni e due neutroni, a causa del principio di esclusione di Pauli, giochi il ruolo di un "guscio chiuso" e sia particolarmente stabile, come anche l'esperienza insegna. Corrisponde a ciò anche il fatto che lo spin complessivo scompare.

Inoltre deve essere analizzata l’interazione che i due nuclei esercitano reciprocamente a distanza più grande. È stato ipotizzato che per ognuno di entrambi i nuclei $\sum {{\rho ^\xi } = 0}$, ciò significa che il numero dei neutroni è uguale a quello dei protoni. L’energia dell’azione di scambio dei nuclei, la quale può essere vista come una modesta perturbazione, secondo la (1) ha la forma:

\[\tag{5}\left. \begin{array}{l}{H^{(1)}} =  - \frac{1}{2}\sum\limits_{kk'} {J\left( {{r_{kk'}}} \right)} \left( {{\rho _k}\rho _{k'}^\xi  + \rho _k^\eta \rho _{k'}^\eta } \right) \\ - \frac{1}{4}\sum\limits_{kk'} {K\left( {{r_{kk'}}} \right)\left( {1 + \rho _k^\zeta } \right)\left( {1 + \rho _{k'}^\zeta } \right)} \\ + \frac{1}{4}\sum\limits_{kk'} {\frac{{{e^2}}}{{{r_{kk'}}}}\left( {1 - \rho _k^\zeta } \right)\left( {1 - \rho _{k'}^\zeta } \right)} \end{array} \right]\]

L’indice $k$ qui si riferisce alle particelle di un nucleo e l’indice $k'$ alle particelle dell’altro. Si  modelli adesso il valore medio temporale della (5) sul moto non perturbato dei nuclei,  rimane così una repulsione media coulombiana dei nuclei ed una attrazione media dei neutroni dove la prima, per grandi distanze, prevale sulla seconda per piccole distanze. Nella (5), il valore medio temporale del  primo termine in sé più grande, scompare poiché il valore atteso di  $r^{\zeta }$ sparisce, se $\sum {{\rho ^\zeta } = 0} $ è noto (ciò consegue più semplicemente dalla simmetria del problema nello spazio $\xi ,\eta ,\zeta $ intorno all’asse $\zeta$). Se si esegue per contro  il calcolo delle perturbazioni fino alla seconda approssimazione, gli elementi di transizione del primo membro della (5) determinano una attrazione del tipo delle forze di van der Waals  poiché la perturbazione del secondo ordine dell’energia ha sempre la forma:

\[\tag{6}W_k^{(2)} =  - \sum\limits_l {\frac{{{{\left| {H_{kl}^{(1)}} \right|}^2}}}{{h{\nu _{kl}}}}} \]

Due nuclei si respingono così a grande distanza in virtù della loro carica, a piccola distanza si legano l’uno all’altro per mezzo di una attrazione di tipo van der Waals  e tramite l’attrazione dei neutroni.

§ 3. Stabilità dei nuclei e serie di disintegrazione radioattiva.

Secondo le considerazioni fin qui fatte, si può immaginare il nucleo come una struttura la quale, in generale, contiene alquanto più neutroni che protoni e nella quale due protoni e due neutroni sono, di volta in volta, riuniti in configurazioni particolarmente stabili, ossia le particelle $\alpha$ . Adesso si dovrà analizzare il seguente quesito: in quali condizioni un tal nucleo è stabile ed in qual modo esso può cadere in condizioni di instabilità?

Dapprima osserviamo un nucleo costituito soltanto da neutroni: a motivo della attrazione dei neutroni   già data dal terzo membro (termine) della equazione (1) un tale nucleo sarebbe apparentemente stabile, poiché occorrerebbe lavoro per allontanare un neutrone dal nucleo. Tuttavia si potrebbe ricavare energia se si staccasse un neutrone dal nucleo e se si aggiungesse un protone poiché, quanto  si ricava dall’aggiunta del protone compensa oltre misura l’allontanamento del neutrone; ciò vale, secondo la nostra ipotesi che le forze di scambio prevalgano sulle forze attrattive fra i neutroni. Si potrà perciò supporre che un tale nucleo, attraverso l’emissione di radiazione $\beta$, decada. Sebbene in tal guisa sembri assolutamente dubbio l’impiego del principio dell’impulso e di conservazione della quantità di moto sul decadimento di un neutrone, in base alle risultanze sperimentali sugli spettri continui della radiazione $\beta$, si dovrà a tal riguardo fare uso di un bilancio energetico dell’emissione $\beta$, qualora si asserisca che una disintegrazione $\beta$ ha luogo quando e soltanto quando la massa a riposo del nucleo osservato sia più grande della somma della massa a riposo del nucleo scaturito dalla disintegrazione $\beta$ e della massa a riposo dell’elettrone. Anche se questa ipotesi è stata sinora {tooltip}usuale{end-link}G. Gamow, Der Bau des Atomkerns und die Radioaktivität. Lipsia 1932.{end-tooltip} nella teoria del nucleo atomico.

Per quanto concerne la sua  costituzione si può menzionare che un neutrone, analogamente ai sistemi della meccanica quantistica, sottoposto all’azione di un forte campo elettrico può, di tanto in tanto, decadere anche spontaneamente. Se il bilancio energetico, nel senso come sopradescritto, è positivo, questo significa che: sul neutrone nel  nucleo – analogamente a quello che fa un campo elettrico - agisce un campo di forze che cerca di scomporlo. Se il bilancio energetico (che è sempre nettamente definito)  è negativo, una tale forza non agisce. Con la premessa della già discussa ipotesi sulla stabilità dei nuclei a fronte del decadimento $\beta$ si potrà quindi concludere: il nucleo dapprima composto di soli neutroni può trasformare i neutroni in protoni con l’emissione di radiazione $\beta$, sino a quando l’energia ricavata con l’apporto di un protone è esattamente uguale a quella che si deve impiegare per la disintegrazione del neutrone. Cioè finché viene raggiunto il minimo della curva energetica indicata per numero di particelle costante. Per un numero più modesto di neutroni, in ogni caso, il nucleo è stabile a rispetto al decadimento $\beta$.

La posizione del minimo, come funzione del numero d’ordine, si può valutare all’incirca nel modo seguente: l’energia di scambio ricavata, che si libera con l’apporto di un protone, può nei nuclei pesanti sostanzialmente dipendere soltanto dal rapporto $n_{1} / n_{2}$ fra neutroni e protoni – se si suppone che la funzione $J\left( r \right)$ a distanza crescente, si azzeri  in maniera sufficientemente veloce; essa può essere data anche da una funzione $f\left( {{n_1}/{n_2}} \right)$ .

Egualmente la perdita di energia, che è  collegata alla scomposizione di un neutrone, per nuclei pesanti tenderà ad un valore $g\left( {{n_1}/{n_2}} \right)$ dipendente soltanto da $n_{1} / n_{2}$. In conclusione, aggiungendo il protone, è ancora da impiegare, contro le forze elettrostatiche l’energia

\[\frac{{{n_2}{e^2}}}{R} \approx \cos t. \cdot \frac{{{n_2}}}{{\sqrt[3]{n}}}\]

($R$ è il raggio del nucleo e qui viene posto approssimativamente proporzionale a $\sqrt[3]{n}$). La posizione del minimo viene così data dall’equazione:

\[\tag{7}f\left( {\frac{{{n_1}}}{{{n_2}}}} \right) = g\left( {\frac{{{n_1}}}{{{n_2}}}} \right) + \cos t. \cdot \frac{{{n_2}}}{{\sqrt[3]{n}}}\]

Si supponga che $f\left( {{n_1}/{n_2}} \right)$ e $g\left( {{n_1}/{n_2}} \right)$ possano essere viste in modo approssimativo come funzioni lineari di $n_1 / n_2$, si ottiene con questa approssimazione

\[\tag{8}\frac{{{n_1}}}{{{n_2}}} = {C_1} + {C_2}\frac{{{n_2}}}{{\sqrt[3]{n}}}\]

dove $C_{1}$ e $C_{2}$ sono delle costanti.

Nella figura 1 è riportato il valore massimo per ogni numero di carica del nucleo ed il valore minimo del rapporto $n_{1} / n_{2}$ che è osservato per l’elemento in oggetto. Questi valori oscillano ancora molto fortemente cosa che per parte è da ricondursi al fatto, che per molti elementi, possono esistere ancora isotopi stabili, i quali, a causa della loro rarità, sinora non sono stati notati. Dal confronto con la (8) per mezzo dei punti posti più in alto, è stata tracciata una curva del tipo (8) con le costanti ${C_1} = 1,178$ e ${C_2} = 0,0225$. L’andamento qualitativo del rapporto $n_{1} / n_{2}$ nel sistema dei nuclei, viene così rappresentato per mezzo di una curva del tipo (8).

§ 4. Stabilità dei nuclei e serie di disintegrazione radioattiva.

Se il rapporto $n_{1} / n_{2}$ scende sotto un determinato valore critico, particolarmente nei nuclei pesanti, la repulsione coulombiana delle cariche positive può diventare così grande in rapporto alle forze di scambio e dei neutroni, che il nucleo decade spontaneamente per via dell’emissione di particelle $\alpha$.

Che ciò avvenga con l’emissione di particelle $\alpha$, invece che di protoni, è in generale notevolmente il legame più debole delle particelle $\alpha$ al nucleo. I nuclei, originati  per disintegrazione $\beta$ da nuclei più grandi, non potrebbero decadere neanche in linea di principio con l’emissione di protoni, poiché il decadimento $\beta$ raggiunge una fine sempre in un punto in cui l’allontanamento di un protone richiederebbe ancora un impiego di energia.

Il valore minimo del rapporto $n_{1} / n_{2}$ si ricava dalla condizione secondo la quale, l’energia coulombiana originata dalla emissione della particella $\alpha$, viene compensata per mezzo delle energie delle azioni di scambio della particella $\alpha$ con il nucleo residuo. Nei nuclei pesanti, le ultime energie dipenderanno ancora dal rapporto $n_{1} / n_{2}$. Si supponga nuovamente la dipendenza come approssimativamente lineare, si perviene così come nella (8) ad una equazione:

\[\tag{9}\frac{{{n_1}}}{{{n_2}}} = {c_1} + {c_2}\frac{{{n_2}}}{{\sqrt[3]{n}}}\]

Nella fig. 1,  la curva (9) è stata rappresentata con le costanti ${C_1} = 0,47$ e ${C_2} = 0,077$ la quale dà all’incirca la posizione dei punti più in basso. Per un giudizio di entrambe le curve nella fig. 1 è da fare attenzione alle circostanze che le quattro costanti $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $C_{4}$ sono state determinate empiricamente, che le equazioni (8) e (9) rappresentano soltanto soluzioni approssimative e che, infine - e questo è il punto più importante - in una teoria avanzata la stabilità di un nucleo non deve dipendere soltanto dal valore del rapporto $n_{1} / n_{2}$, ma anche da caratteri più sottili della struttura del nucleo. Pertanto entrambe le curve hanno soltanto significato qualitativo come limiti di stabilità per i decadimenti $\alpha$ e $\beta$. Nel settore dove entrambe le curve si avvicinano, giacciono gli elementi radioattivi ed il comportamento di questi deve essere discusso, in seguito, ancor più precisamente.

§ 5. Stabilità dei nuclei e serie di disintegrazione radioattiva.

Già uno sguardo superficiale alla fig. 1 insegna che, in caso  elementi radioattivi, il solo valore del rapporto $n_{1} / n_{2}$ non è sufficiente per esprimere un giudizio sulla stabilità dei nuclei. I valori critici del rapporto nelle tre famiglie radioattive, giacciono in posti diversi e, persino nella stessa singola serie di decadimento radioattivo, la stabilità nei confronti del decadimento $\beta$ dipende ancora da alcune particolari proprietà del nucleo le quali saranno discusse subito. Supponiamo ad esempio che all’inizio di una serie di decadimento vi sia un nucleo con un numero pari di protoni e che esso sia ancora stabile a fronte della disintegrazione $\beta$. Con l’emissione di particelle $\alpha$ questo nucleo si trasformerà in nuclei con un numero minore di protoni e neutroni e pertanto il rapporto $n_{1} / n_{2}$ aumenterà fino a superare un valore critico. Sopravviene allora il decadimento $\beta$, ciò significa che proprio ora è energeticamente conveniente, togliere un neutrone ed aggiungere un protone; dopo questo decadimento il numero di protoni è dispari. A motivo della grande stabilità del nucleo He è  anche sicuramente favorevole, anche sotto il profilo energetico, trasmutare un secondo neutrone in un protone ed in questo modo costituire un nucleo di He, all’interno del nucleo. Da un numero d’ordine inizialmente pari, il nucleo può quindi permanentemente emettere, una dopo l’altra, due particelle $\beta$; da un numero d’ordine inizialmente dispari di protoni, ne viene espulsa solo una. Questa regola si conferma ovunque nelle serie di decadimento radioattive. Il rapporto critico $n_{1} / n_{2}$ è così più alto per l’emissione della prima particella $\beta$ di quello per l’espulsione della seconda. Dopo l’emissione di entrambe le particelle $\beta$, in generale il rapporto $n_{1} / n_{2}$ sarà sceso tanto che non interviene alcun ulteriore decadimento $\beta$. Tuttavia si può allora mettere in relazione un decadimento con una radiazione $\alpha$ che innalza nuovamente il rapporto $n_{1} / n_{2}$ nuovamente finché esso, supera per la seconda volta, il valore critico (cioè quello di un numero pari di protoni); allora interviene nuovamente il decadimento $\beta$, etc. In conclusione, il nucleo diventa stabile in un posto qualsiasi. Può anche accadere che un nucleo decada sia con l’emissione $\beta$ che con l’emissione $\alpha$; là appaiono poi le note ramificazioni che, in questa sede, non devono essere discusse ulteriormente. La Tabella 1 indica, per le tre serie di decadimento radioattivo, il numero d’ordine $n_{2}$ , il numero di neutroni $n_{1}$ , ed il rapporto $n_{1} / n_{2}$. I rapporti per i quali interviene il decadimento $\beta$ sono stampati in grassetto. Si evince dalla tabella che, di fatto, la seconda labilità $\beta$ delle serie di decadimento (nei prodotti del B) si trova proprio nel posto dove il rapporto$n_{1} / n_{2}$ supera il valore critico, determinabile per mezzo della prima labilità $\beta$ . Soltanto la terza  labilità $\beta$ nella serie del radio (nel RaD)  non viene chiarita per mezzo di questo semplice concetto.

Tabella 1

Serie del Torio

Serie del Radio

Serie dell’Attinio

Elemento

$n_{2}$

$n_{1}$

$n_{1} / n_{2}$

Elemento

$n_{2}$

$n_{1}$

$n_{1} / n_{2}$

Elemento

$n_{2}$

$n_{1}$

$n_{1} / n_{2}$

Th

90

142

1,579

$U_1$

92

146

1,588

Pa

91

144

1,582

$\alpha$




$\alpha$




$\alpha$




MTh1

88

140

1,591

$UX_1$

90

144

1,600

Ac

89

142

1,596

$\beta$




$\beta$




$\beta$




MTh2

89

139

1,562

$UX_2$

91

143

1,571

RaAc

90

141

1,567

$\beta$

 

 

 

$\beta$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

RaTh

90

138

1,533

$U_{II}$

92

142

1,544

AcX

88

139

1,580

$\alpha$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

ThX

88

136

1,545

Jo

90

140

1,556

AcEm

86

137

1,593

$\alpha$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

Th Em

86

134

1,558

Ra

88

138

1,569

AcA

84

135

1,608

$\alpha$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

ThA

84

132

1,571

RaEm

86

136

1,582

AcB

82

133

1,622

$\alpha$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

$\beta$

 

 

 

ThB

82

130

1,587

RaA

84

134

1,595

AcC

83

132

1,590

$\beta$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

$\beta$

 

 

 

ThC

83

129

1,555

RaB

82

132

1,610

AcC’

84

131

1,560

$\beta$

 

 

 

$\beta$

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

ThC’

84

128

1,524

RaC

83

131

1,579

AcD

82

129

1,573

$\alpha$

 

 

 

$\beta$

 

 

 

 

 

 

 

ThD

82

126

1,537

RaC’

84

130

1,548

 

 

 

 

 

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RaD

82

128

1,561

 

 

 

 

 

 

 

 

$\beta$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RaE

83

127

1,530

 

 

 

 

 

 

 

 

$\beta$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RaF

84

126

1,500

 

 

 

 

 

 

 

 

$\alpha$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RaG

82

124

1,512

 

 

 

 

I rapporti critici del decadimento $\beta$ per un numero pari, oppure, dispari di protoni sono così, all’incirca, nella serie del Torio 1,585 oppure 1,55, nella serie del Radio 1,595 oppure 1,57, nella serie dell’Attinio 1,62 oppure,1,59. Il decadimento $\beta$ del RaD ci insegna certamente che, oltre il rapporto $n_{1} / n_{2}$ e la particolare stabilità del nucleo di He, giocano un ruolo per la loro stabilità, altre proprietà strutturali dei nuclei.

§ 6. Discussione delle ipotesi fisiche fondamentali.

In conclusione, ci si deve brevemente interessare della seguente questione: quali sono i limiti di precisione di principio, dentro i quali una funzione hamiltoniana del nucleo del tipo (1)  può descrivere per analogia, il comportamento fisico dei nuclei?  Si guardino i nuclei come analoghi alle molecole e si raffrontino i neutroni con gli atomi, si perviene alla conclusione che l’equazione (1) può valere soltanto se il moto dei protoni avviene relativamente lento a confronto con quello dell’elettrone nel neutrone; ciò significa che la velocità dei protoni deve essere piccola rispetto a quella della luce. Per questo motivo avevamo trascurato tutti i termini relativistici nella funzione hamiltoniana (1). L’errore in cui si incorre, in questo caso, è dell’ordine di grandezza $\left(v/c\right)^{2}$, cioè circa l’1%. Con questa approssimazione, il neutrone può essere, per così dire, ancora concepito alla stregua di un modello statistico, così come abbiamo fatto prima. Deve essere però chiaro che vi sono altri fenomeni fisici dove il neutrone non può essere più visto come modello statistico e per i quali l’equazione (1) non può pertanto rendere conto. Ad es., a questi fenomeni appartiene l’effetto Meitner - Hupfeld, la diffusione di raggi $\gamma$ nei nuclei. Altrettanto vi appartengono tutti quegli esperimenti nei quali i neutroni possono essere scomposti in protoni ed elettroni; un esempio di ciò mostra il frenamento di un fascio di elettroni ad alta energia nel passaggio attraverso nuclei atomici. Per la discussione di tali esperimenti diviene pertanto indispensabile un più preciso approfondimento delle difficoltà fondamentali  che intervengono nello spettro continuo $\beta$.

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