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Sulla Struttura dei nuclei atomici. II. - Di W. Heisenberg

Sulla Struttura dei nuclei atomici. II

Di W. Heisenberg, attualmente ad Ann Arbor, Michigan.

Con 3 illustrazioni. (Pervenuto il 30 Luglio 1932)

§ 1.Stabilità dei nuclei con numero pari e dispari di neutroni, § 2. Diffusione di raggi $\gamma$ nel nucleo atomico. § 3. Le proprietà del neutrone.

Lo scopo delle presenti ricerche è stabilire fino a qual punto si può ridurre la questione della teoria del nucleo atomico, dopo (la scoperta)  del neutrone e delle sue proprietà. Nella prima parte di questo lavoro, veniva discussa particolarmente la stabilità dei nuclei sotto il punto di vista del decadimento dovuto all’emissione di radiazioni $\alpha$ e $\beta$. Le poche leggi che si sono dimostrate qui come decisive per  le serie di decadimento radioattive, devono in seguito essere impiegate anche per i nuclei atomici più leggeri, non radioattivi, e permettere il significato di alcune note regole empiriche sulla sistematica dei nuclei atomici, che per prime furono date da {tooltip}Beck{end-link}G. Beck, ZS f. Phys. 47, 407, 1928; 50, 548,1928.{end-tooltip}.

§ 1. Stabilità dei nuclei.

Secondo le ricerche della Parte I un nucleo può allora decadere con l’emissione di raggi $\beta$, se con l’aggiunta di un protone al nucleo, viene ricavata più energia di quanta deve essere spesa per l’estrazione di un neutrone dal nucleo risultante;  "Nella parte I,  i pesi atomici della serie dell’Attinio sono stati dati, secondo il testo di Gamow (La struttura del nucleo atomico e la radioattività. Lipsia 1932), più alti di quattro unità. La seguente tabella, secondo Rutherford, Chadwick ed Ellis (Radiations from radioactive substances, Cambridge 1930) sembra giusta:"

Tabella 1

Elemento $n_2$ $n_1$ $n_{1} / n_{2}$
Pa 91 140 1,539
$\alpha$
Ac 89 138 1,551
$\beta$
Ra Ac 90 137 1,522
$\alpha$
Ac X 88 135 1,535
$\alpha$
Ac Em 86 133 1,547
$\alpha$
Ac A 84 131 1,560
$\alpha$
Ac B 82 129 1,574
$\beta$
Ac C 83 128 1,542
$\beta$
Ac C’ 84 127 1,512
$\alpha$
Ac D 82 125 1,524

Per rilevare facilmente la stabilità del nucleo a fronte del decadimento $\beta$ di conseguenza è opportuno, per una data massa totale del nucleo ($n=n_{1}+n_{2}$, $n_{1}$ numero di neutroni, $n_{2}$ numero di protoni), riportare l’energia dello stato più basso all’incirca come una funzione di $n_{1}$. Se mediante un salto da $n_{1}$ a $n_{1}-1$ l’energia può essere diminuita allora il nucleo in oggetto è $\beta$-labile altrimenti è stabile nei confronti del decadimento $\beta$. Se il rapporto $n_1 / n_2$ diventa troppo piccolo, allora il nucleo decadrà con l’emissione di radiazioni $\alpha$.

In prima approssimazione, la curva che per una massa data rappresenta l’energia E, in funzione di $n_{1}$ avrà l’aspetto in Fig.1 : per $n_{1}=0$, l’energia si azzera poiché i protoni si respingono reciprocamente giacché, in conseguenza, non ha luogo alcun legame. Allora per $n_{1}$ crescente, l’energia diminuisce fino ad un minimo che giacerà alquanto a destra di $n_{1} / n_{2}=1$ e risale nuovamente, finché per $n_{1} / n_{2}$ raggiunge un valore sempre negativo che corrisponde al legame di un nucleo costituito di soli neutroni. Se viene raggiunto il valore minimo della curva, per  $n_{1} / n_{2}=a$ , allora in questa approssimazione sarebbero $\beta$-labili tutti quei nuclei per i quali è $n_{1} / n_{2}>a$ , al contrario tutti gli altri stabili a fronte del decadimento $\beta$. (nella Fig. 1 i nuclei labili sono marcati con una crocetta, quelli stabili con un cerchietto) Questa rappresentazione però, in base ai risultati della I parte § 5, ha bisogno di un perfezionamento.

Dapprima osserviamo i nuclei atomici nei quali n è un numero pari. A motivo della particolare stabilità del nucleo di elio, qui i valori delle energie appartenenti ai numeri pari $n_{1}$ ed $n_{2}$ saranno notevolmente più bassi di quelli degli stati con $n_{1}$ ed $n_{2}$ dispari per circa, gli stessi valori di $n_{1} / n_{2}$. Per la rappresentazione dell’energia come funzione di $n_{1}$, del tipo di quella in Fig. 1, dovremo disegnare non una curva  bensì due ; una per $n_{1}$ ed $n_{2}$ pari e l’altra per $n_{1}$ ed $n_{2}$ dispari.

La seconda curva in prima approssimazione si troverà più in alto, per un tratto all’incirca costante; cioè indipendente da $n_{1}$ ed n della prima curva (Fig. 2). La Fig. 2 adesso ci insegna che, nella curva inferiore punti proprio a destra del minimo, potrebbero appartenere a nuclei stabili, mentre nella curva superiore ancora punti a sinistra del minimo possiedono  un punto sinistro di vicinanza più in basso, cioè corrispondono ai nuclei che possono decadere con l’emissione di radiazioni $\beta$. Nella curva superiore i nuclei di grande massa totale n, soltanto per piccoli valori del rapporto $n_{1} / n_{2}$ $\beta$-stabili e ciò proprio prima che intervenga la labilità $\alpha$;  soprattutto in questo caso non esistono nuclei atomici stabili con $n_{1}$ ed  $n_{2}$ dispari.

Formalmente in prossimità del minimo, l’energia può essere rappresentata così:

\[\tag{1}\left. \begin{array}{l} {E_{pari}} = A\,\,\left[ {n{{\left( {\frac{{{n_1}}}{n} - b} \right)}^2} + C} \right]\\{E_{dispari}} = A\,\,\left[ {n{{\left( {\frac{{{n_1}}}{n} - b} \right)}^2} + C + c} \right]\end{array} \right]\]

La costante $b$ è, a secondo del valore di $n$, uguale o alquanto più grande di $1/2 $ ed è, approssimativamente indipendente da $n_{1}$ ed $n_{2}$. Il limite fra nuclei $\beta$-labili e $\beta$-stabili viene così dato per $n_{1}$ pari:

\[\tag{2}{E_{pari}}\left( {{n_1}} \right)\,\,={E_{dispari}}\left( {{n_1} - 1} \right)\]

cioè:

\[n{\left( {\frac{{{n_1}}}{n} - b} \right)^2} = n\,\,{\left( {\frac{{{n_1} - 1}}{n} - b} \right)^2} + c\]

e

\[\tag{3}\frac{{{n_1}}}{n} = b + \frac{1}{2}\left( {c + \frac{1}{n}} \right) \approx b + \frac{c}{2}\]

Per $n_{1}$ dispari, questo limite si ricava dall’equazione:

\[{E_{dispari}}\left( {{n_1}} \right) = {E_{pari}}\left( {{n_1} - 1} \right)\]

cioè:

\[\tag{4}n{\left( {\frac{{{n_1}}}{n} - b} \right)^2} + c = n{\left( {\frac{{{n_1} - 1}}{n} - b} \right)^2}\]

e

\[\tag{5}\frac{{{n_1}}}{n} = b + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{n} - c} \right) \approx b - \frac{c}{2}\]

Cresce n oltre un determinato valore così viene spostato il limite della labilità $\alpha$ oltre $b-c/2$, allora non vi sono più nuclei stabili con $n_{1}$ ed $n_{2}$ dispari. Cresce n ulteriormente e così in, conclusione, il limite  della labilità $\alpha$ verrà spostato ancora oltre $b-c/2$, allora non vi saranno più nuclei stabili. Empiricamente, sono conosciuti come stabili i nuclei H2, Li6, B10, N14 con $n_{1}$ e $n_{2}$ dispari.  Nelle serie di decadimento radioattive, vi sono ancora alcuni elementi con $n_{1}$ e $n_{2}$ dispari tutti i quali, corrispondentemente alla sopra discussa legittimità, decadono con l’emissione di radiazione $\beta$. Per i nuclei con un numero totale dispari n (di nucleoni) non sussisterà alcuna rilevante differenza energetica fra i nuclei con $n_{1}$ dispari o pari; poiché il principio di esclusione di Pauli, deve valere altrettanto per protoni e neutroni, sarà allora energeticamente utile all’incirca, assimilare  i protoni o i neutroni ad un guscio chiuso. A motivo della particolare stabilità del nucleo di He tuttavia si potrà supporre che un numero pari di protoni, energeticamente, è alquanto più vantaggioso di un numero pari di neutroni , come ciò sembra apparire anche dallo schema di decadimento della serie dell’attinio; però le differenze non sono così marcate come negli elementi con n pari. Ciò corrisponde alla circostanza che per n dispari, esistono elementi stabili con numero d’ordine sia pari che dispari fino, in alto, quelli radioattivi. Tuttavia i valori massimi del rapporto $n_{1} / n_{2}$, per numero d’ordine pari, generalmente, dovrebbero trovarsi alquanto più in alto di quello dispari. Nondimeno una regolarità di questo tipo non si fa interpretare sulla base della sperimentazione, fin quanto sino adesso noto. Che il principio di Pauli giochi un ruolo rimarchevole nel nucleo  tanto per i neutroni quanto per i protoni, si può dedurre più che direttamente e legittimamente da quanto  segue: per un dato numero d’ordine, il valore massimo ed il valore minimo di $n_{1}$ che vengono osservati è, generalmente, pari. Altrettanto, per un numero dato di neutroni, sono pari i valori limite di $n_{2}$ rilevati. Eccezioni a questa regola si trovano negli elementi leggeri, poiché qui togliere o aggiungere una particella, implica già in se una grande modifica del nucleo. Ulteriormente, anche nei nuclei pesanti, sono state osservate poche eccezioni le quali, forse, trovano la loro spiegazione nella incompletezza delle nostre conoscenze dello schema degli isotopi.

§ 2. Diffusione di raggi $\gamma$ nel nucleo atomico.

Nella seguente sezione sarà esaminata la diffusione  di raggi $\gamma$ nei {tooltip}nuclei atomici{end-link}Per il chiarimento delle questioni discusse nella seguente sezione, ringrazio essenzialmente la Conferenza di Pasqua a Copenhagen e particolarmente le discussioni che ho potuto condurre colà con il Sig. Prof. Niels Bohr,  sotto questo aspetto.{end-tooltip} dal punto di vista del modello qui discusso.

Una tale diffusione può essere determinata per mezzo di due diverse cause: in primo luogo attraverso l’azione della radiazione esterna il movimento dei protoni e dei neutroni può essere alterato in modo tale che il nucleo emetta onde sferiche secondarie alla frequenza della radiazione incidente, oppure ad una frequenza la quale differisce da questa di una autofrequenza (frequenza propria) del nucleo (Dispersione Raman).

In secondo luogo un singolo neutrone, cioè la carica negativa ad esso legata, per mezzo della radiazione incidente, può essere eccitato fino all’emissione di radiazione Rayleigh o Raman. Si guardi il neutrone come costituito da un protone e da un elettrone, così questo secondo modo di radiazione di diffusione, verrà posto parallelamente alla diffusione di luce visibile negli atomi ed in conseguenza  si intuirà che essa, a motivo della piccola massa dell’elettrone, è notevolmente più intensa della radiazione di diffusione del primo modo.

Un calcolo, da effettuare successivamente, mostrerà anche che la diffusione di radiazione del primo modo, può portare tutt’al più un contributo osservabile alla diffusione totale del nucleo, nei punti di risonanza. Per l’interpretazione dell’effetto Meitner – Hupfeld, in prima approssimazione, sarà sufficiente la semplice diffusione dei neutroni. Poiché fino adesso, le proprietà del neutrone sono  per la più gran parte sconosciute, teoricamente non si può fare un previsione sulla diffusione di raggi $\gamma$ nei neutroni. Tuttavia si può calcolare l’intensità della radiazione totale diffusa in funzione dei numeri $n_{1}$ ed $n_{2}$ fino ad un fattore costante sconosciuto se, come accade qui, si considerano soltanto neutroni e protoni come componenti elementari del nucleo. Se la radiazione diffusa, essenzialmente è quella coerente di Rayleigh, cioè ha la stessa frequenza di quella incidente, allora l’intensità della radiazione diffusa deve essere proporzionale ad $n_{1}^{2}$ fintanto che la lunghezza d’onda è grande in confronto al diametro del nucleo; se essa sostanzialmente è radiazione Raman, allora la sua intensità sarà proporzionale ad $n_{1}$. Si indichi con $\sigma_{N}$ la sezione efficace del neutrone che è determinante per l’intensità della radiazione diffusa, allora nel caso della radiazione Rayleigh, la sezione efficace del nucleo atomico $\sigma_{K}$ sarà:

\[\tag{6}\sigma_{k}=\sigma_{N}\cdot n_{1}^{2}\]

e nel caso della diffusione Raman:

\[\tag{7}\sigma_{k}=\sigma_{N}\cdot n_{1}\]

Gli esperimenti si fanno rappresentare alquanto soddisfacentemente dall’equazione (6) e rispondono peraltro favorevolmente alla tesi sostenuta da {tooltip}Meitner e Hupfeld{end-link}L. Meitner e H. Hupfeld, ZS f. Phys. 75, 705, 1932; cfr. però anche, contro la sopradetta supposizione, il lavoro L. Gray e G. Tarrant, Proc. Roy. Soc. London (A) 136, 662, 1932.{end-tooltip}, cioè che la radiazione diffusa ha la stessa frequenza di quella incidente.

Dagli esperimenti segue che per una lunghezza d’onda $\lambda=4,7\; X-E$. della radiazione incidente è $\sigma_{N}=1,5\cdot10^{-28}cm^{2}$ circa. La fig. 3 contiene la curva teorica per $\sigma_{k}/n_{2}$ calcolato per $\sigma_{N}=1,5\cdot10^{-28}cm^{2}$  ed i valori misurati da {tooltip}Meitner ed Hupfeld{end-link}L. Meitner e H. Hupfeld, ZS f. Phys. 67, 147, 1931.{end-tooltip}, {tooltip}Jakobsen{end-link}J. Jakobsen, ibidem 70, 145, 1931.{end-tooltip}, {tooltip}Chao{end-link}C. Chao, Proc. Nat. Acad. Amer. 16, 431, 1930.{end-tooltip}, e {tooltip}Tarrant{end-link}G. Tarrant, Proc. Roy, Soc. London (A) 135, 223, 1932.{end-tooltip}. Tuttavia, per la deviazione della diffusione totale per ogni elettrone, dai dati sperimentali è stata dedotta la parte della formula di Klein – Nishima , la quale – secondo le formule di {tooltip}Sauter{end-link}F. Sauter, Ann. D. Phys. 11, 454, 1931.{end-tooltip} deve essere rimandata all’effetto fotoelettrico degli elettroni nell’atomo. In corrispondenza ai risultati sperimentali di Meitner ed Hupfeld, i valori di Sauter per gli elementi pesanti Pb ed Hg per i quali il metodo di approssimazione di Sauter non è più permesso, sono stati ridotti di circa il 20%; la misurazione nell’uranio di Jakobsen è stata trascurata perché per esso la valutazione dell’effetto fotoelettrico, non è più possibile.

Adesso si deve recuperare il calcolo della radiazione diffusa del primo tipo, che riconduce ad un cambiamento del moto di protoni e neutroni. Come variabili del sistema guardiamo, come nella parte I, le coordinale locali della particella $\mathfrak{r}_{k}$, il suo spin $\sigma_{k}$ e la grandezza $\sigma_{k}^{x}$ che indica se la particella è un protone ($\sigma_{k}^{x}=-1$) oppure un neutrone  ($\sigma_{k}^{x}=+1$). L’energia dell’azione di scambio del nucleo, con un campo elettrico esterno E, ha allora la forma:

\[\tag{8}{H_1} = \mathfrak{E} \cdot e\sum {{\mathfrak{r}_k}\frac{1}{2}\left( {1 - \rho _k^\xi } \right)} \]

La prima parte $\mathfrak{E} \cdot \frac{e}{2}\sum {{\mathfrak{r}_k}}$ di questa energia perturbatrice, corrisponde ad una forza elettrica che agisce sul baricentro del nucleo e che, pertanto, dà luogo ad una radiazione diffusa, come se fosse emessa da una particella elementare di carica $ne/2$ e di massa $nM$. Questa radiazione diffusa obbedisce alla formula di Thomson ed a causa della sua debole intensità, non può essere usata per la spiegazione degli esperimenti di Meitner ed Hupfeld. Diversa è la cosa con la diffusione che corrisponde al  secondo membro della (8):

\[ - \mathfrak{E}\frac{e}{2}\sum {{\mathfrak{r}_k}\rho _k^\xi } \]

Poiché essa può diventare intensa, quando la frequenza della radiazione incidente si approssima ad una frequenza propria del nucleo atomico. Per l’ampiezza del momento di dipolo secondario, prodotto dalla radiazione esterna  si ricava allora, analogamente alla teoria della dispersione degli atomi (supponendo $\mathfrak{E}$ parallelo all’asse Z) l’equazione:

\[\tag{9}{M_z}\left( n \right) = {e^2}{\mathfrak{E}_z} \cdot \sum\nolimits_m {\frac{{\left| {{{\left( {\frac{1}{2}\sum\limits_k {{z_k}\rho _k^\xi } } \right)}^2}_{nm}} \right| \cdot 2\left( {{E_n} - {E_m}} \right)}}{{{{\left( {{E_n} - {E_m}} \right)}^2} - {{\left( {h\nu } \right)}^2}}}} \]

Nella quale $E_{n}$ rappresenta l’energia dello stato n, e ${\left( {\frac{1}{2}\sum\nolimits_k {{z_k}} \rho _k^\xi } \right)_{nm}}$ l’elemento di matrice appartenente alla sommatoria $\frac{1}{2}\sum\nolimits_k {{z_k}} \rho _{k'}^\xi$ per il salto da n ad m.

La radiazione diffusa diventa così molto intensa nel punto di risonanza $h\nu = \left| {{E_n} - {E_m}} \right|$ se casualmente non scompare l’elemento di matrice appartenente al salto in oggetto. Una discussione più approfondita sulla equazione (9) è possibile soltanto per uno speciale nucleo atomico. Guardiamo all’incirca l’isotopo di H di massa 2, dettagliatamente trattato nella I parte. Qui l’elemento di matrice ${\left( {\rho _1^\xi {z_1} + \rho _2^\xi {z_2}} \right)_{nm}}$ è diverso da zero, allora e soltanto se uno dei due stati appartiene al sistema simmetrico di termini $\rho^{\xi}$ e l’altro all’antisimmetrico. Poiché lo stato fondamentale appartiene al sistema simmetrico, per la diffusione nello stato fondamentale giocano un ruolo soltanto stati eccitati la cui funzione d’onda è antisimmetrica, $\rho_{1}^{\xi}$ e $\rho_{2}^{\xi}$. Per gli stati del tipo menzionato per ultimo, la funzione di scambio $J\left(r\right)$ dà origine ad un urto fra neutroni e protoni; gli stati eccitati in questione appartengono così tutti allo spettro continuo di energia positiva. Pertanto non vi è un preciso punto di risonanza, nel solito senso, per l’isotopo H2.

§ 3. Le {tooltip}proprietà del neutrone{end-link}Alla Conferenza di Pasqua 1932 a Kopenhagen, ho conosciuto un lavoro del Sig. Prof. N. Bohr “Sulle proprietà del neutrone nell’urto con protoni ed elettroni” che comparirà fra poco e dal quale ho appreso molto. Per la possibilità di poter discutere il lavoro prima della pubblicazione, vorrei ringraziare cordialmente il Sig. Bohr.{end-tooltip}.

La supposizione che il neutrone può essere considerato come un componente elementare fisso del nucleo, è stata sempre posta a fondamento del presente lavoro; il fatto che il neutrone in qualche condizione si ritenga così, come composto da un protone ed un elettrone trovava espressione soltanto in considerazione dello scambio di posto e nel decadimento $\beta$. Sebbene adesso il fatto sperimentale  che nella frantumazione di nuclei leggeri possono liberarsi neutroni parli a favore delle sopraddette supposizioni, ciò necessita ancora di una ulteriore giustificazione teorica, se si interpreta il neutrone con il suo piccolo difetto di massa (~1 milione di elettronvolt) come componente fisso del nucleo nel quale le energie di scambio delle particelle sono molto più grandi di 1 milione di elettronvolt. A difesa di questa ipotesi si può addurre che già l’esistenza del neutrone contraddice le leggi della meccanica quantistica nella forma fin qui conosciuta. In realtà sia la validità ipotetica della statistica di Fermi per i neutroni, come il fallimento del teorema dell’energia nel decadimento $\beta$, dimostrano l’inapplicabilità della meccanica quantistica fin qui nota, alla struttura del neutrone. Anche se si prescinde da queste proprietà del neutrone e che ciò comporta la circostanza che il neutrone è opera  dell’estensione approssimata di ${\Delta _q} \approx \frac{{{e^2}}}{{m{c^2}}}$, una contraddizione alla meccanica quantistica, se si immagina il neutrone costituito da un protone ed un elettrone. All’ambito locale altresì ${\Delta _q} \approx \frac{{{e^2}}}{{m{c^2}}}$, corrisponderebbe, secondo il principio di indeterminazione, l’impulso medio:

\[\Delta p \approx \frac{h}{{2\pi \Delta q}} \approx \frac{{hm{c^2}}}{{2\pi {e^2}}} = \frac{{hc}}{{2\pi {e^2}}} = \frac{{hc}}{{2\pi {e^2}}} \cdot mc\]

Così, per il difetto di massa del neutrone ci si dovrebbe attendere una energia dell’ordine:

\[E = c \cdot \Delta p = \frac{{hc}}{{2\pi \cdot {e^2}}} \cdot m{c^2} \approx 137m{c^2}\]

Mentre il difetto di massa osservato è circa cento volte più piccolo.

Se si cerca di calcolare l’energia di legame dell’elettrone nel neutrone, dal difetto di massa si ricavano valori dell’ordine di $mc^2$, dalla dimensione del neutrone valori dell’ordine di 137 $mc^2$.

Si può usare anche la dispersione della luce attraverso i neutroni per il calcolo dell’energia di legame e porsi la domanda: quanto è grande la frequenza di un oscillatore classico il quale diffonde raggi $\gamma$, alla lunghezza d’onda $\lambda=4,7\; X-E$ ca., esattamente così forti come un neutrone?

La sezione efficace di un oscillatore alla frequenza $\nu_{0}$ è:

\[\tag{10}\sigma = \frac{{8\pi }}{3}{\left( {\frac{{{e^2}}}{{m{c^2}}}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{{{\nu ^2}}}{{\nu _0^2 - {\nu ^2}}}} \right)^2}\]

Dai valori empirici $\sigma=1,5\cdot10^{-28}cm^{2}$, per $h\nu=5,15\cdot mc^{2}$ segue $h\nu_{0}=4,26\cdot mc^{2}$.

Dalla diffusione si concluderebbe così che una energia di legame corrisponde all’incirca alla grandezza del neutrone, al contrario del difetto di massa empirico del neutrone.

Riassumendo si può dedurre : a causa della inapplicabilità del teorema dell’energia nel decadimento $\beta$ è impossibile una definizione univoca del concetto "Energia di legame" per l’elettrone nel neutrone.  Poiché ulteriormente l’utilizzo della meccanica quantistica per il neutrone porta a contraddizioni, si ricavano per l’energia di legame dell’elettrone nel neutrone, valori del tutto diversi a secondo degli esperimenti che si fanno per la sua determinazione. Sotto qualche aspetto il neutrone manifesta una energia di legame molto forte come un sistema quanto-meccanico,  per contro il suo difetto di massa è molto piccolo.

La supposizione fondamentale riposta in questo lavoro, cioè che il neutrone nel nucleo può essere visto come un componente fisso elementare, non contraddice dall’inizio le altrimenti note proprietà del neutrone, il cui comportamento non può essere descritto tutte le volte secondo le regole della meccanica quantistica.

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